El lenguaje universal de la ciencia (*)

La obra de Giuseppe Peano y de su escuela ocupa un lugar destacado en la historia contemporánea de la ciencia sobre todo por la gran influencia que ejerció tanto en Italia como en Europa y en el concierto científico internacional. A pesar de la cautela de Peano respecto de las implicaciones filosóficas de su obra lógica, hay que destacar un momento clave en la difusión de su obra: el Congreso Internacional de Filosofía celebrado en París en 1900. Precisamente fue en un congreso de filosofía  donde su obra y la de los discípulos de su escuela comenzaron a adquirir fama fuera de los confines de Italia y sus trabajos adquirieron renombre y se dieron a conocer universalmente. Dicho congreso estuvo articulado en cuatro sesiones: 1) Metafísica y Filosofía general. 2) Moral. 3) Lógica e Historia de la ciencia. 4) Historia de la Filosofía. En él participaron los más prestigiosos pensadores de la época, entre los que podemos destacar a H. Bergson, E. Boutroux, G. Cantor, L. Couturat, R. Dedekind, G. Frege, F. Klein, A. Lalande, G. Léchalas, X. León, E. Le Roy, E. Mach, A. Meinong, P. Natorp, H. Poincaré, B. Russell, E. Schröder, H. Spencer, J. Tannery y W. Wundt. Representando a Italia asistieron, entre otros, A. Labriola, G. Peano, G. Vailati, M. Calderoni y A. Padoa.

El congreso fue inaugurado con una conferencia de E. Boutroux en la que realizó una reflexión acerca de la crisis en la que se encontraban las disciplinas filosóficas a causa del cada vez mayor protagonismo que iban adquiriendo las diversas ciencias particulares surgidas de nuevas especializaciones que diseñaban nuevos campos epistemológicos. En este sentido, la inclusión en el Congreso de la tercera sección (Lógica e Historia de la Ciencia) tuvo la importancia programática de proponer la reconstrucción de la perdida unidad de la filosofía partiendo del nuevo panorama epistemológico. “Solidaria con las ciencias, la filosofía participa, en una cierta medida, en las directrices de su desarrollo, que es el progreso a través de la división del trabajo y la convergencia de los esfuerzos, esto es, a través de la organización de la investigación”.   “Ciertamente esta empresa debe resultar más difícil, quizás  irrealizable en el siglo veinte, pero los pensadores deben dedicar todos sus esfuerzos a la realización de tal proyecto. Aristóteles, Leibniz, y el mismo Hegel han podido comprender toda la ciencia de su tiempo. Pero la ciencia actual, la ciencia del porvenir, sobrepasa inexorablemente la capacidad de la inteligencia humana”.  

André Lalande, que fue uno de los impulsores de los Congresos Internacionales de Filosofía - como éste de 1900- estaba empeñado en potenciar el trabajo cooperativo entre los filósofos. En un artículo de 1898   y en una comunicación al Congreso Internacional de Filosofía de 1900 titulada: Sur la critique et la fixation du langage philosophique presenta un proyecto de unificación del lenguaje filosófico y propone la confección de un Vocabulario técnico y crítico de la filosofía, y el método a seguir para su elaboración.

Dentro de este espíritu globalizador y optimista que se vivía en aquellos congresos, se decidió abordar y resolver de un modo práctico el problema de una lengua universal y la primera consecuencia fue la creación de una Délegation pour l'adoption d'une langue auxiliaire internationale . En esta perspectiva se inscribe la realización del Vocabulaire technique et critique de la philosophie (1902-1923) que ocupó la actividad de Lalande durante más de veinte años. 

El propio Couturat como principal promotor de la formación de una mathesis universalis y absolutamente comprometido con el proyecto de la lengua universal, colaboró con Lalande en los primeros años del Vocabulaire (sobre todo en relación a la terminología correspondiente a la nueva lógica). Esta colaboración cesó en 1906 ya que a partir de ese año Couturat se dedicó casi exclusivamente al trabajo de adaptar y actualizar el Esperanto, en la línea del Ido. Al año siguiente de su fallecimiento en 1914, apareció su Dictionnaire Français-Ido, realizado en colaboración con Beaufront. El Vocabulaire se publicó periódicamente en el Bulletin de la Société française de philosophie (dirigido por Xavier Léon y el propio André Lalande) en la forma de fascículos, entre julio de 1902 (primer fascículo de la letra A) y febrero de 1922 (letra Z). En 1926 el Vocabulaire se publicó en forma de libro (revisado, corregido y aumentado con un suplemento): “Vocabulario técnico y crítico de la filosofía, revisado por los señores miembros y correspondientes de la Sociedad Francesa de filosofía y publicado con sus correcciones y observaciones por André Lalande, miembro del Instituto y profesor de la Sorbona” .

Aunque los autores de esta obra -franceses que escribían en francés- ofrecen la versión de cada término en lengua alemana, inglesa e italiana, pero ignoran absolutamente la lengua española, el Vocabulaire technique et critique de la philosophie fue traducida al español y publicada en 1953, lo que facilitó su gran difusión, además de España, en los países de América Latina. Durante el siglo XX han aparecido veinte ediciones en francés de esta obra de obligada consulta que ha contribuido de una manera decisiva  a conformar el estilo francés de hacer filosofía. La consulta del Lalande se hará imprescindible aunque sólo sea para poder percibir las evidencias de ese intento de reglamentar y unificar armónicamente el vocabulario filosófico -no exento de una cierta ingenuidad- al estilo parisino de principios del siglo veinte. También debería rastrearse en la literatura posterior la influencia de las decisiones adoptadas, respecto a algunos términos, por los traductores españoles. 

En este aspecto, nadie duda de la aportación de Peano en el sentido de dotar a las ciencias formales de eficaces medios simbólicos apropiados para una efectiva clarificación conceptual, por tanto es necesario dilucidar cuáles fueron los motivos fundamentales y los objetivos específicos de sus investigaciones lógicas y lingüísticas. Respecto de la lógica su preocupación es metodológica y no sistemática. Sus trabajos se encaminan en una línea instrumental orientada a analizar los conceptos matemáticos y en conseguir unos procedimientos adecuados para la formulación ordenada de las proposiciones matemáticas en un lenguaje riguroso. Siendo éstas sus motivaciones se entiende su insistencia en la ideografía de la lógica simbólica. Y esto lo diferencia de otros estudiosos más atentos a aspectos formales del cálculo lógico o a los aspectos axiomáticos, que llevaron a Frege y Russell a la formulación de la tesis logicista de la reductibilidad de la matemática a la lógica. Peano realiza una auténtica epoché lingüística a mitad de camino entre el plano de lo real y el plano formal teórico y se sitúa en el plano formal instrumental o lingüístico. Esta dirección del trabajo de Peano fue muy apreciada en los foros internacionales europeos de la época aunque, como ya he mencionado, injustamente infravalorada en Italia. La relación de Peano con el pensamiento lógico europeo presenta una diferencia muy significativa respecto de la filosofía croceana y del idealismo imperante en Italia en esa época, abocado a la construcción de una cultura nacional basada en la actualización de la línea Vico-Spaventa-Labriola. La Italia unificada necesitaba una “filosofía nacional” y no era precisamente Peano, con su pensamiento cosmopolita e inequívocamente distanciado del nacionalismo, el punto de referencia a elegir. Para los idealistas, sobre todo Croce, la lógica simbólica carece de la sólida justificación filosófica que caracteriza a la lógica tradicional y cae en el craso error de pretender asir las leyes del pensamiento al creer que puede reducirlo a términos, conceptos y proposiciones. La lógica simbólica, insisto, para Croce carece de valor por su “probada” nulidad filosófica. Sin embargo, su posterior desarrollo y actual vigor desmienten las afirmaciones de Croce. Aunque la lógica simbólica solo fuese un formulario de utilidad práctica, las cuestiones sobre la posibilidad y el significado de tal utilidad son de carácter netamente filosófico, so pena de restringir arbitrariamente el dominio de la investigación filosófica. Por otra parte la construcción formal del cálculo lógico no excluye la posibilidad de investigaciones sobre las “formas del espíritu” como pretenden los idealistas y metafísicos. La lógica formal no es solamente un repertorio de recetas y términos útiles, sino el intento de una formulación rigurosa de los principios y las reglas del sistema deductivo y la explicitación de su consistencia, independientemente de sus aplicaciones prácticas.

En el pensamiento de Peano pueden distinguirse tres períodos: a) el realismo heurístico, b) la interpretación pragmático-operativa del lenguaje formal y c) el carácter procesual en la construcción del lenguaje. El realismo heurístico o metodológico elimina cualquier interpretación convencionalista del lenguaje matemático. Aunque puede existir una diversidad de lenguajes, de símbolos y notaciones, el análisis de las ideas a las cuales tiende debe ser único. “Si independientemente uno de otro, surgen dos sistemas aptos para representar y analizar las proposiciones de una teoría, entre ellos podrá haber una absoluta diferencia formal; pero deberá subsistir una analogía sustancial; y si los sistemas están igualmente perfeccionados, entre ellos deberá haber identidad. Porque la Lógica Matemática no consta de una serie de convenciones arbitrarias y variables al capricho del autor, sino (provenientes) del análisis de las ideas y de las proposiciones  primitivas y derivadas, y este análisis es único”.  Este aspecto marca una importante diferencia tanto respecto de Vailati en el cual la influencia del pragmatismo de Peirce determina una intepretación exageradamente convencionalista de las construcciones sintácticas; como de Croce, en el cual su monismo panlógico disgrega la polaridad del objeto, convirtiéndolo en una articulación de la actividad del espíritu. Si el realismo tiene carácter heurístico o metodológico, los lenguajes se convierten en vías alternativas de adquisición de la verdad y, al mismo tiempo, eliminan los problemas irresolubles de las construcciones que sólo se pueden definir intersubjetivamente. El aspecto pragmático-operativo del lenguaje no implica nunca renuncia a una verificación histórico-inductiva que establece en la tradición del trabajo de los matemáticos y los lógicos el ámbito epistemológico en el cual debe fundamentarse la obra de sistematización de las proposiciones lógicas. Muy distanciado de los riesgos del monismo naturalista de inspiración spenceriana, Peano identifica en el lenguaje el instrumento privilegiado del encuentro intersectorial de las diversas disciplinas y al mismo tiempo, el ámbito apropiado para despejar clásicos problemas filosóficos desde siempre considerados aparentemente irresolubles, entre otros, la problemática del infinito, el de las clases totales o el de las proposiciones existenciales.

Otra aportación importantísima de la lógica peaneana es la determinación de las características y de las funciones específicas de las definiciones por recurrencia, de las definiciones por abstracción y de las definiciones por postulados, que han transformado radicalmente el esquema tradicional de las definiciones por género y diferencia específica y han mostrado los fundamentos, a través de la investigación científica, sobre las llamadas definiciones implícitas en sus varias formas. Su característica, en comparación  con las definiciones de la lógica tradicional, consiste en el hecho de que mientras estas se presentan como explicaciones del significado de ‘una palabra’ o de un signo aislado, las definiciones implícitas (o condicionales) no se ocupan sino del significado de las diversas proposiciones o fórmulas en las cuales aparece la palabra o el signo en cuestión, combinados con otros cuyo sentido ya está determinado. Las definiciones por abstracción tienen una función muy importante en la mecánica y en las diversas disciplinas de las ciencias matemáticas. En este sentido debemos a Peano, por ejemplo, la definición de masa, de temperatura, de potencial y su relación con las experiencias en las cuales se integran. Pero es necesario aclarar el término ‘definiciones por abstracción’. Este término, usado ampliamente por los lógicos, fue acuñado por Peano.   Aunque nuestro autor no da una definición exacta del término podemos afirmar que para él una definición por abstracción es una definición que emana de las propiedades del objeto a definir. Lo que sí caracteriza muy bien es en qué sentido utiliza el término abstracción. 

Peano tenía en mente, básicamente, un dominio de objetos a, b, c ... en una determinada relación de equivalencia; por ejemplo las fracciones como 2/3, 5/7, etc. Según él, el resultado de la abstracción que obtenemos de las propiedades no invariantes sobre la fracción 2/3 es idéntico al resultado de la abstracción que se opera en la fracción 4/6. El resultados de los razionale 2/3 y 4/6 es idéntico. Russell no estuvo de acuerdo con la noción de abstracción de Peano y sostuvo que la definición por abstracción no es un procedimiento lógicamente válido. Según el autor de los Principia, Peano se habría equivocado al sostener que el bicondicional “a = b; si y solo si a ~ b” es una definición, con “a = b” como definiendum y “a ~ b” como definiens. Objeción a la cual se le pone solución en una correcta teoría de la abstracción haciendo del bicondicional un teorema.

Euclides, en el libro V: “Se dice que la razón de la extensión a en relación a b es igual (idéntica) a la razón de c en relación a d [o sea, a/b = c/d] cuando tomados aleatoriamente dos números m y n, si ma > nb se sigue mc > nd; si ma > nb se sigue mc > nd”.  

Las definiciones en las cuales lo que se define es la igualdad entre entes nuevos, se llaman ‘definiciones por abstracción’. El signo ‘=’ con el cual el álgebra traduce el término autós (idem, idéntico) de Euclides,  representa la idea que satisface el siguiente principio de Leibniz: “Eadem sunt quorum unum in alterius locum substitui potest salva veritate”, esto es, que dos cosas son iguales, idénticas, cuando en cada proposición una se puede sustituir por la otra permaneciendo intacta la verdad de las proposiciones y por tanto, cada propiedad de una de ellas es también propiedad de la otra. (El término igual del álgebra, lo que Euclides denomina autós, no se debe confundir con el término isos, que también suele traducirse por igual, sobre todo en ciertos tratados de geometría muy difundidos y de uso generalizado. De ahí la importancia de las consideraciones filológicas y lingüísticas en el proceso de construcción de la ciencia.

Todo esto se completa con las definiciones de número. Siendo a y b dos clases, se escribe “num a = num b” y se lee “el número de los a es igual o idéntico al número de los b cuando entre a y b se puede establecer una correspondencia de uno a uno”. De este modo, se define así la igualdad de ‘dos’ números, no cada número individualmente y esto por la razón de que la mencionada definición está fuera de la aritmética, más estrictamente ‘antes’ de la aritmética y, por otra parte, porque el número del que aquí se trata no se corresponde con la noción de número que define la aritmética. En este punto del desarrollo de su teoría de las definiciones, 

Peano también expone su teoría de las relaciones, su teoría de las clases y su teoría de los operadores, para concluir: ¿Cuál es la mejor entre las cuatro teorías expuestas, todas igualmente lógicas y rigurosas? La mejor es aquella que más le gusta a cada profesor. Imponer a un profesor un método que a él no le guste es obra de destrucción, no de construcción. Pero es útil que los enseñantes conozcan los diversos métodos con el fin de que puedan realizar una elección concienzuda. Por tanto es de la máxima importancia el Boletín de nuestra sociedad, así como las otras publicaciones didácticas, las conferencias de matemática y todos los estudios comparativos y críticos que sirvan para completar los conocimientos, a menudo demasiado dogmáticos, que se adquieren en las escuelas”.

Peano fundamenta sus investigaciones en un conocimiento amplio de la historia de las matemáticas en particular y de la ciencias en general. Esto le permite no caer en ningún tipo de dogmatismo epistemológico ya que él sabe muy bien, y eso sostuvo siempre, que el valor fundamental de una teoría es precisamente el de ser explicativa de los objetos o de los hechos de que se trate, que éstas tienen un valor instrumental y sobre todo, que ninguna teoría determinada puede ser impuesta por encima de otras teorías igualmente válidas. Lo contrario causaría mayor confusión y dispersión, que es todo lo contrario de lo que se quiere conseguir con la aplicación de una teoría que pretende ser explicativa de los hechos y objetos científicos. Y también están presente en el ánimo del autor las circunstancias, nada desdeñables, de la libertad de investigación y de la eficacia didáctica. Sin embargo, Peano siempre llamó la atención sobre una cuestión de procedimiento: una vez que se sigue el método que emana de una determinada teoría válida, debe seguirse de una manera coherente, sin recurrir a instrumentos dependientes de otras teorías. 

Las investigaciones peaneanas modifican la metodología de la ciencia, sobre todo, la tesis operacionista de la investigación experimental y su concepción sintáctica de las estructuras formales. Peano abre las puertas a una investigación filosófica de la ciencia que va más allá de una simple compresión genérica y lejana de la misma. La importancia que da a los datos históricos en la evolución de la ciencia, considerados no como meros elementos introductorios y contextuales, sino como formando parte de la ciencia misma, lo colocan en una postura bien alejada del cientificismo imperante en su época.

Según Peano está probado que la teoría de Euclides, con veinte siglos de antigüedad, además de ser “aún hoy, una de las más bellas”, es la más rigurosa. Y esto puede probarlo haciendo uso del método histórico que adoptó. “El profesor que debe explicar a los alumnos los números enteros, las fracciones, los números irracionales, las áreas, los volúmenes, o aquel que está por escribir un libro de texto, estará obligado a leer todos los trabajos de Euclides e, incluso introducir su estudio en nuestras escuelas, para lo cual sería necesario tener las ediciones escritas en el texto griego cuyo lenguaje matemático es muy distinto a las versiones en lenguaje moderno, que es muy diferente sobre todo en la parte aritmética y algebraica” .

La preocupación pedagógica de Peano por los procedimientos didácticos no es algo tangencial en su pensamiento. Él es consciente que unos de los ejes fundamentales de desarrollo de la ciencia es su enseñanza en los claustros universitarios. Enseñanza que, por otra parte, debe ir siempre acompañada de la investigación. Para la correcta aplicación del método histórico en las instituciones educativas deben existir los fondos bibliográfico pertinentes, esto es, las fuentes. Y además debe ser posible poder consultarlas en sus lenguas originales. De ahí la importancia que le da Peano a la enseñanza de las dos lenguas clásicas fundamentales: el latín y el griego. Si reflexionamos sobre todo esto no podemos menos que sentir preocupación por el enorme retroceso - cuando no desaparición- que los estudios clásicos (lengua y filosofía) han experimentado en las escuelas y universidades españolas. Y esta cuestión no es sólo un perjuicio cultural sino algo que atenta profunda y directamente contra el corazón del método científico y la ciencia misma. Con lo que queremos decir que no son ajenas a la ciencia, ni tampoco a la institución universitaria - que es o debería ser el lugar natural en la que ésta se cultiva- las cuestiones didácticas sobre la enseñanza que aparentemente sólo atañen a otros niveles educativos. La cuestión didáctica muchas veces es tratada peyorativamente cuando forma parte capital del proceso histórico de la evolución del saber científico. Nuestro autor realizó muchas observaciones en este sentido y produjo abundantes escritos en esta línea. También esto forma parte de su herencia científica.

Para completar este capítulo en el que se deja constancia de los fundamentos teóricos de la obra de Peano, es necesario contextualizarla en el debate epistemológico y filosófico de la época. El escenario central de este debate, que tuvo implicaciones en toda Europa, se dio en Francia. Uno de los acontecimientos emblemáticos en este sentido fue el Congreso Internacional de Filosofía de París, en 1900. Pero esto fue un hecho puntual, por tanto debemos situarnos en el entorno temporal del congreso. Este congreso se fue preparando durante algunos años antes y su órgano oficioso de difusión fue la Revue de Métaphysique et de Morale que dirigía X. Léon. En los sucesivos números que entonces se publicaron estuvo presente este debate de la época, cuyas mismas cuestiones se trataron con gran polémica, fuerza y dinamismo en las múltiples reuniones y discusiones habidas en  las diversas sesiones del congreso. Las protagonistas principales en estas discusiones fueron H. Poincaré  y L. Couturat. Posteriormente, después del congreso, también se unirán a este debate Peano y algunos miembros de su escuela, tales como Vailati o Padoa. El debate estuvo articulado en tres direcciones principales: a) la situación problemática de los principios de la mecánica y sus relaciones con la electrodinámica, b) los problemas relativos a la fundamentación lógica de las matemáticas y c) la sistematización lógica de la geometría no euclideana. Estos problemas cuestionaban la propia fundamentación de la ciencia y la articulación de sus procesos cognoscitivos al poner en tela de juicio la relación tradicional entre los seres reales (ontológicamente fundantes de la ciencia) y los objetos que a ellos se refieren (los objetos de la ciencia -que se sitúan en el plano formal-).

Couturat, que era un leibniziano, representaba la concepción actualista (ontologista) y determinista de los objetos científicos, sin embargo las nuevas direcciones apuntaban en el sentido contrario de definir autónomamente la ciencia y establecer una estructuración igualmente autónoma de los distintos campos del saber y las diversas regiones epistemológicas. A partir de 1883 comienza el aludido debate en la Revue. El matemático francés sostiene que los objetos científicos poseen una consistencia ontológica independiente de cualquier condición teórica lingüística que pudiera estar en grado de constituirlos. A lo cual Poincaré, mostrando su desacuerdo, responde que no está dispuesto a renunciar al carácter apriorístico de los procesos estructuradores de los objetos: “En síntesis, el espíritu tiene la facultad de crear símbolos y es de este modo como ha sido creada la noción de continuo matemático, que no es otra cosa que un sistema particular de símbolos. La posibilidad expresiva se limita a la necesidad de evitar cualquier contradicción; pero el espíritu no hace uso de la experiencia si ésta no se lo permite”  La experiencia desempeña un papel determinante aún en los niveles más formales de la investigación matemática. Las coordenadas trazadas por Kant con la noción de sintético a priori conservan para Poincaré una validez exegética en los procedimientos científicos y por tanto la noción de continu no puede ser interpretada como simplemente a priori.

En el mismo año Couturat, en el artículo Note sur la géometrie non euclidienne et la relativité de l’espace, aparecido en la Revue, evidencia no haber superado aún su postura antikantiana ni tampoco haber releído a Leibniz, que fue lo que posteriormente lo llevaría a su encuentro con los logicistas. Hasta ese momento la cuestiones filosóficas y epistemológicas de la ciencia poseían como esquema de referencia, tanto la filosofía trascendental, como el convencionalismo de Poincaré. Posteriormente Couturat comienza a dar un vuelco a sus teorías epistemológicas al acentuar la importancia de las estructuras a priori en la fundación de la ciencia: “es evidente que nosotros no constatamos el espacio, sino que lo creamos”   Si el espacio geométrico no tiene nada en común con nuestra percepción del espacio, el problema de la verdad en la geometría debe considerarse en términos diferentes a los tradicionales. Según él, una geometría no puede ser más verdadera que otra, solamente puede ser más “cómoda”. Aquí ya encontramos los primeros rasgos de acuerdo con Peano. Acuerdo que será cada vez mayor como lo demuestran la asidua correspondencia que tuvo lugar entre ambos matemáticos.

A propósito del surgimiento de la geometría no-euclideana era necesario afirmar que las diversas definiciones del espacio de ningún modo derivan de la experiencia, sino que son construcciones netamente racionales. La ley sobre la homogeneidad del espacio no es una ley natural, sino del “espíritu”. El carácter necesario de todos los postulados - y también de los de Euclides- no es empírico, sino racional.

Aunque para Poincaré la geometría conserva siempre las características de una ciencia experimental, aunque sus principios (definiciones implícitas de los axiomas) han perdido el nexo con la experiencia de la cual derivan. Por tanto no es posible la construcción de un sistema geométrico si no lo permite la experiencia. En esta fase Couturat comienza a acentuar el componente apriorístico del lenguaje deductivo en detrimento de las aportaciones de la experiencia.

Frege hace su aparición en el debate en 1895, situándose en el polo opuesto del psicologismo de Husserl, del formalismo de Hilbert y del constructivismo de Poincaré: los símbolos numéricos no tienen ningún significado autónomo, son expresiones de la creatividad del espíritu y sólo designan objetos. La confusión entre símbolo y objeto fue también un punto de inflexión respecto de la cuestión que estamos tratando. Los objetos matemáticos tienen una estructura particular, son realidades ideográficas independientes, no sólo de la experiencia, sino también de los procesos epistemológicos de definición. Las líneas trazadas por la filosofía kantiana permanecen válidas para el análisis de las ciencias positivas y marcan el límite de demarcación entre las tendencias empiristas de la geometría, entendida ésta como la expresión de relaciones existentes entre las cosas (res), y las tendencias racionalistas, que construían una ciencia ideal completamente separada de la experiencia.

En 1896/97 Couturat realiza una crítica severa del empirismo partiendo de las definiciones de la relación existente entre números naturales y números cardinales. Según él los empiristas tienden a reducir el análisis numérico a la experiencia de contar y por tanto también tienen la tendencia a establecer una cierta prioridad de la serie de los números ordinales respecto de los cardinales. La generalización de la geometría, según él, implica una meta-estructura que comprende la generalización de la geometría y del álgebra. Se procede a través de la representación de los números sobre una recta. El conjunto de los puntos racionales de una recta es un conjunto conexo, esto es, se pueden unir dos puntos cualesquiera por medio de una cadena de puntos pertenecientes al mismo sistema y en la cual los intervalos sean todos menores que un segmento dado.

Entre 1989 y 1898 Couturat elaboró su concepción sobre la naturaleza de los entes lógico-matemáticos a partir, por una parte, de la relectura, en clave anticriticista, de Leibniz y por otra, de los desarrollos logicistas en Italia. Ya en estos años el proyecto del Formulario estaba muy avanzado, se habían publicado cinco sucesivas ediciones desde los inicios en 1894 y sus aportaciones habían sobrepasado los confines de Italia y se habían extendido a la comunidad científica internacional. La influencia en Couturat es evidente, y ésta es una circunstancia de máximo relieve ya que Couturat se situaba en el centro del debate científico internacional, cuya capital mundial era París. No en vano el Formulario de Peano estaba escrito principalmente en francés. La Escuela de Turín ya tenía su peso específico propio en los albores del Congreso de París, uno de cuyos organizadores fue justamente Couturat.

El año anterior al Congreso, la Revue publica dos artículos referentes a la escuela de Peano: el primero, del mismo Couturat: Logique Mathématique de M. Peano y el segundo, de un discípulo de Peano, G. Vailati: La logique mathématique et sa nouvelle phase de développement. El artículo de Couturat es una mera síntesis de la lógica peaneana y una esquematización de sus proposiciones lógicas fundamentales. Esta publicación no aporta nada especialmente relevante desde el punto de vista teórico, pero sin embargo, al estar publicado en el importante órgano de expresión que fue la Revue de Metaphysique, tuvo el valor emblemático de constituir la carta de presentación de Peano en Francia y el punto de partida del conocimiento y difusión de su obra en el concierto científico europeo e internacional. El artículo de Vailati se presenta como un profundo y completo balance del decenio precedente en lo que refiere al debate lógico en Italia. Claramente influenciado por su maestro, Vailati utiliza el método histórico, es así como comienza su análisis a partir de Leibniz, quien había sido el primero en intuir el carácter innovador de las concepciones extensionales de las entidades lógico-matemáticas y en dar las definiciones de individuos pertenecientes a una determinada clase. Todo lo expuesto en este artículo suscitó un encendido debate entre aquellos destacados filósofos y científicos que luego se encontrarían en el Congreso de París del año siguiente. Resulta evidente, entonces, que los hallazgos peaneanos formaban parte del eje central de los desarrollos epistemológicos, lógicos y lingüísticos en los primeros años del siglo XX.

La primera sistematización de la lógica se debe a Peano que en 1888 publica como prefacio a su tratado Calculo geometrico secondo l’Ausdehnungslere di H. Grassman, una síntesis de las principales reglas lógicas. En estos años Peano descubre la relación existente entre el cálculo de clases y el cálculo de proposiciones. Y en el aspecto ideográfico introduce el signo de pertenencia de un individuo a una clase (e) que distingue rigurosamente del signo de inclusión de una clase en otra (É) El segundo momento de la elaboración del cálculo lógico lo encontramos en Arithmetices Principia nova metodo exposita, de 1889 y en los Principia di geometria logicamente sposti del mismo año.

Una de las ciencias en la que más se hacía notar el debate epistemológico de la época, como hemos podido comprobar, es la geometría. Precisamente éste fue uno de los puntos de partida de Peano cuando pudo constatar que algunas de las definiciones tenidas por válidas durante siglos en esta antigua disciplina eran inconsistentes. Después del amplio debate, que tuvo como momento clave el congreso de 1900, quedaba planteada la siguiente cuestión: ¿si los axiomas geométricos no son ni empíricos, ni a priori, qué son? ¿Es posible encontrar una vía intermedia entre ambas posturas? Al respecto siempre se había  afirmado que la solución la da Kant en la Kritik der reinen Vernunft, quien habría resuelto el problema planteado a través de la introducción de la noción de juicios sintéticos a priori. Sin embargo, esta solución está ligada fundamentalmente a la polémica entre racionalistas y empiristas y no responde a los resultados de la investigación científica de principios del siglo pasado. La solución kantiana es válida si la contextualizamos en su época, pero, como es natural, las nuevas direcciones de la filosofía y de la ciencia requerían nuevas respuestas a los problemas epistemológicos planteados.

La disyuntiva que emerge de las discusiones de París queda planteada por un lado, por la postura de Poincaré y por otro, por la de Russell. Para el primero los axiomas de la geometría son convenciones, définitions déguisées; el segundo subraya el carácter analítico de estos axiomas. Queda planteada la disimetría entre definiciones científicas de carácter “creativo” (costrutti epistemici) y definiciones científicas fundadas en la realidad objetiva. Sin embargo, la solución la da Peano, quien tomando en consideración ambas vertientes del debate, encuentra la salida en el análisis del lenguaje de la ciencia. Por una parte, podríamos asimilar a Peano a la línea logicista, en la medida en que asume la autonomía del lenguaje lógico, en cuyo seno y sin salir de él, consigue encontrar los fundamentos de la axiomatización de la aritmética y la geometría, partiendo de su noción de definiciones por abstracción, que en realidad son de carácter analítico. En esto se puede considerar a Russell un discípulo suyo: no olvidemos que Russell escribe los Principia a su regreso del Congreso de París, inmediatamente después de haberse leído todos los escritos de Peano. Por otra parte, Peano habría asumido el convencionalismo al otorgarle al lenguaje formalizado de la ciencia un valor heurístico instrumental. El instrumentalismo lógico peaneano resuelve la polémica entre el ontologismo latente en la postura de Russell y el constructivismo intuicionista de Poincaré. El lenguaje lógico es analítico, pero al no ser único no puede tener pretensiones de ser la expresión formal de la realidad. Peano habla de “los lenguajes”, aceptando que pueden existir diversos lenguajes igualmente válidos para representar los axiomas de las matemáticas. Lo importante es la eficacia de un lenguaje. Eficacia, operatividad, utilidad y hasta “comodidad”.

De este modo Peano resuelve la cuestión de la axiomatización de las definiciones, despojando a sus hallazgos de connotaciones explícitamente filosóficas. Peano se mueve en el puro ámbito del lenguaje. Su método es analítico porque se aplica en el análisis del lenguaje, sin apoyarse en cuestiones metafísico-ontológicas (Russell, Wittgenstein), ni en cuestiones psicológicas y o gnoseológicas (Poincaré, Husserl, Bergson). Su método es instrumental porque está orientado a estructurar un lenguaje formal válido tanto para la expresión científica como para fundamentar en el propio lenguaje las proposiciones primitivas y los axiomas de la ciencia. Esta es la única manera de lograr un lenguaje universal para la ciencia, independientemente de posturas y escuelas filosóficas y de diversas técnicas de materialización ideográficas: para él la ideografía de Frege es tan válida como la suya, por tanto usar una u otra es una cuestión de mera elección (otra cosa es cuál sea más sencilla y clara, más “cómoda”, como diría Frege).

La unificación y universalización del lenguaje matemático.

El Formulario matematico, como hemos señalado, marca una de las dos vertientes en las  que se desarrollan las investigaciones lingüísticas peaneanas. En esta vasta obra, que se fue construyendo durante años a través de las sucesivas publicaciones periódicas que la constituyen,  podemos distinguir dos grandes empresas: la axiomatización de las matemáticas y la lógica simbólica.

La postura logicista, a la que podemos adscribir a Frege y a Russell, sostiene que existe un modelo matemático absoluto y que todos los términos de la matemática se pueden traducir a términos lógicos de manera tal que las proposiciones matemáticas admiten una traducción a proposiciones lógicas. Si tomamos como ejemplo la geometría euclideana, que es un sistema axiomático, podemos traducir todo lo que se afirma sobre rectas o planos a ecuaciones y éstas a estructuras numéricas que a su vez se traducirían en términos de conjuntos o de clases, o sea, a estructuras lógicas. Tanto Frege como Russell muestran que cuando hablamos de lenguaje matemático estamos formulando afirmaciones lógicas acerca de clasificaciones, propiedades de dichas clasificaciones o de conjuntos de clasificaciones. La perspectiva russelliana ofrece en los Principia una versión nueva de la matemática. Todo lo que podemos pensar y expresar con sentido en esta ciencia se encuentra presente en los enunciados de la lógica. La matemática sería un capítulo de la lógica y por tanto se ocuparía de objetos lógicos. Frege y Russell demuestran cómo los axiomas de los sistemas matemáticos se trasforman en verdades lógicas. Esto garantizaría la coherencia del discurso matemático y lo libraría de cualquier tipo de contradicciones internas o inconsistencias.

En Arithmetices Principia nova methodo exposita  , desde el inicio, Peano adopta una postura clara en el sentido de considerarse heredero de una tradición filosófica marcada por la búsqueda de estructuras simbólicas que expresaran las principales ideas matemáticas, liberando a esta ciencia, en el análisis de sus fundamentos, de la ambigüedad de las expresiones lingüísticas usadas en el lenguaje ordinario. En esta obra Peano nos propone las principales nociones de la lógica simbólica y su correspondiente simbología o notación lógica, aunque como él señala no todas son necesarias (algunas de ellas, según el propio autor, son incluídas por ‘simetría’):

I. De punctuatione (Sobre la puntuación): Se define el uso de puntos y paréntesis, y se indica el modo correcto de leer las expresiones lógicas.

II. De propositionibus (Sobre las proposiciones): Se introducen los conceptos de afirmación, negación, disyunción y conjunción entre proposiciones. Se propone el signo  para la implicación.

III. Logicae propositiones (Proposiciones lógicas): Se enuncian cuarenta y tres proposiciones, entre las cuales las diez primeras se consideran proposiciones primitivas.

IV. De classibus (Sobre las clases): Se introduce el concepto de clase como entium agregatio y el símbolo  equivalente a ser miembro de una clase. El signo V, que indica la clase constituída por todos los individuos, no se usará. 

V. De inversione (Sobre la inversión): [xe]a indica la clase de individuos que satisfacen la condición a.

VI. De functionibus (Sobre las funciones): Dado un ente x de una determinada clase,  jx designa un nuevo ente. El propio concepto de función presupone la tesis de la extensionalidad de las clases, por la cual una determinada clase se caracteriza completamente en virtud de los individuos que contiene.

La parte sistemática de la obra se divide en diez parágrafos:

# 1. De numeris et de additione. (Sobre los números y la adición).

# 2.  De subtractione. (Sobre la sustracción).

# 3. De maximis et minimis. (Sobre máximos y mínimos)

# 4. De multiplicationes. (Sobre la multiplicación).

# 5. De postestatibus. (Sobre las potencias).

# 6. De divisione. (Sobre la división).

# 7. Theoremata varia. (Teoremas varios).

# 8. Numerorum rationes. (Las razón de los números).

# 9. Rationalium systemata. Irrationalis. (El sistema de los racionales. Los irracionales).

# 10. Quantitatum systemata. (El sistema de las cantidades).

El Formulario recoge tratados completos de matemática elemental y superior en escritura ideográfica que, según Peano, resulta legible en todos los idiomas. Dicha escritura está basada en el simbolismo leibniziano que, a su vez, se apoya en el cálculo infinitesimal. Según Leibniz, en gran parte la fecundidad y el dinamismo de la matemática tiene que ver con la utilización de símbolos, tales como las cifras en aritmética o los signos algebraicos.

Ya en el siglo XIX Moebius, Grassman y Hamilton introdujeron notaciones que permitían operar sobre los objetos geométricos del mismo modo en que se opera en álgebra sobre los números. Estas notaciones se denominaron vectores. Desde muy antiguo, las entidades de las que se ocupaban las matemáticas estaban mal definidas. Hasta finales del siglo XIX, el patrimonio del saber acumulado, con ser muy abundante, no se correspondía con la exactitud y el rigor que la ciencia demandaba. En esa época, los matemáticos admitían sin demostración algunas ideas acerca de las cuales posteriormente se ha demostrado su falsedad. Precisamente fue Peano quien puso en evidencia algunas de esas inexactitudes y falsedades. Y esto fue posible gracias a su método, que revolucionó la historia de las matemáticas y fue punto de partida de futuras y fecundas revisiones, como la de Russell en los Principia mathematica. Por ejemplo, basados en la mera intuición estos matemáticos del siglo XIX enunciaban que “toda curva admite una tangente”, esto es que toda función continua es derivable. Sin embargo, Peano rebate este enunciado al construir una curva que llena todos los puntos de un cuadrado y que, por tanto, no puede tener tangentes. Justamente para poner en evidencia cómo la uniformidad y continuidad de la correspondencia entre una variable t y dos funciones x(t) e y(t) no son condiciones suficientes para representar gráficamente el conjunto de puntos de las coordenadas [x(t), y(t)] con una "curva" plana, Peano ideó una ley capaz de poner en correspondencia el parámetro t, número real comprendido entre 0 y 1, con los  puntos de un cuadrado .

A raíz de este tipo de críticas los matemáticos de entonces comenzaron a demandar un más estricto carácter científico a su disciplina y mayor rigor a sus razonamientos. La mayoría de ellos coincidieron en que la respuesta a sus exigencias estaba en la Lógica y de ese modo, comenzaron a someter sus teorías a severas revisiones con el auxilio de los nuevos instrumentos lógicos puestos a su disposición por pensadores como Peano y los discípulos de su escuela. En esta ardua labor de refundación y reconstrucción de las matemáticas “emerge el mayor artífice de la revolución de la filosofía de las matemáticas y de la teoría del conocimiento... Peano se impone a sí mismo y al mundo científico su sugestiva invención”.  

Como resultado de las revisiones efectuadas Peano saca las siguientes conclusiones : 

1. Toda definición tiene la forma: definito = definiente. El primer miembro expresa términos simples (signo, palabra, frase, proposición) y el segundo, términos complejos (formado con signos o palabras conocidos).

2. Todas las definiciones matemáticas son nominales. Sin embargo, la lógica escolástica clasificaba las definiciones en reales y nominales.

3. La regla de Aristóteles “per genus proximum et differentiam specificam” no vale para todas las definiciones. Por ejemplo, la definición de clase como conjunto o propiedades es un error, ya que representa una tautología y constituye una definición circular (“círculo vicioso”, “circulus in definiendo”). Aquí Peano observa que en la lengua ordinaria no siempre es fácil evitar ciertas tautologías, pero en el lenguaje científico resultan inadmisibles.

4. Peano opina que en matemáticas es posible definir cosas que no existen, cuestión con la que ya estaba de acuerdo Aristóteles y que jamás podría haber aceptado Russell. Por esta razón Peano no aceptaba la siguiente regla: Ne es necesse quod exsiste res definito (“no es necesario definir lo que no existe”)..

5. Entre varias definiciones posibles de entidades, la selección de las definiciones reales depende de cada autor, por tanto, cualquier definición puede, o no, ser una definición posible.

6. Las definiciones proceden de lo conocido a lo desconocido.

7. Definiciones por inducción.

Una función f de números enteros, incluido el cero, está definida cuando nos da el valor f 0 y luego nos expresa f (n + 1) por f n (en donde n representa un número cualquiera).

Ejemplo: si conocemos a + 1 como sucesivo de a, la suma de dos números se define:

a + 0 = a

a + (n + 1) = ( a + n) + 1

8. Definiciones por abstracción. En este punto Peano recuerda la definición quinta del V Libro de Euclides.

9. Ideas primitivas: son aquéllas que no pueden ser definidas en relación a un determinado orden de ideas. Por ejemplo, no es posible definir el signo ‘=’, ya que aparece en toda definición. Ésta es una idea primitiva, aunque no tiene carácter absoluto, sino que tiene un carácter relativo a un determinado sistema de ideas que suponemos conocido. Aristóteles también admite proposiciones primitivas.

10. Definito y definiente deben contener el mismo número de variables. 

11. Utilidad de las definiciones: 

De la relación definito = definiente, resulta que podemos sustituir el definiente por el definito y de ese modo eliminar el definito de toda la teoría.

Las definiciones son útiles si no son necesarias. Si cuando eliminamos el definito, la nueva expresión es más larga e incompleta que la precedente, esto significa que la definición resultante es poco útil. Por otra parte, si es imposible eliminar el definito esto demuestra que la definición es poco rigurosa. Para Peano este método de sustitución sirve para reconocer la exactitud de las definiciones. La matemática fundada en este sistema estaría en contra de la concepción kantiana. No existirían los juicios sintéticos a priori en tanto juicios imposibles de demostrar de modo analítico, ni por reducción a la identidad, ni por la experiencia.

La lógica penetra en las matemáticas de dos maneras: por la lengua técnica ordinaria y por el simbolismo específico. Pero el lenguaje ordinario no es apto para las matemáticas dada su gran ambigüedad. Ninguna lengua natural es compatible con la precisión y concisión que necesita el lenguaje de la matemática y de cualquier otra ciencia.  Los logicistas sostenían que si todo teorema matemático se transforma en verdad lógica no pueden existir incompatibilidades u oposiciones entre los enunciados de la matemática porque éstos se transformarían en verdades lógicas que no se oponen entre sí, ya que sabemos a ciencia cierta que los enunciados de la lógica no pueden entrar en contradicciones. Pero en 1897, un discípulo de Peano, Cesare Burali-Forti descubrió las llamadas paradojas lógicas, lo cual ponía en evidencia que la lógica a la cual la matemática debía ser traducida también podía llevar a contradicciones. Russell, en 1903, abunda en la cuestión de las paradojas lógicas en la línea de algunas observaciones que había realizado George Cantor quien cuando ya había ultimado su teoría de los conjuntos, habría descubierto que el empleo de conjuntos en relación con algunas de la ideas más básicas de la lógica - por ejemplo, el principio de tercero excluido- llevaba a contradicciones. Frege había intentado resolver estas contradicciones, con lo cual lo único que consiguió fue poner en evidencia la incapacidad de su propia lógica para construir el modelo lógico absoluto que pretendía. El modelo logicista entraba en crisis. Los ajustes de Russell reorientaron esta línea de sistematización de las matemáticas a partir de las valiosas aportaciones de Peano.

Esta polémica produjo una gran división en la filosofía de las matemáticas respecto de cuál es el modo adecuado de sistematizar y entender esta ciencia desde el punto de vista epistemológico. Posteriormente, en esta misma línea de trabajo, Alfred Tarski, el frustrado discípulo de Peano , sostenía que había que modificar la lógica y construir otra estructura diferente a la clásica de Aristóteles -incluidas las correcciones de Frege y Russell-. El propio Russell había intentado salvar a la lógica de las paradojas o antinomias que llevaban a contradicciones formulando la teoría de los tipos, que considera no significativas a una gran cantidad de afirmaciones. Además introdujo una nueva serie de axiomas o postulados lógico matemáticos con lo cual la reducción se haría posible. La lógica de los principios naturales con la cual Frege y Russell edificaron el logicismo es sustituida por la lógica de la teoría de los tipos. Y una vez más, la verdadera solución a este problema -la eliminación de las contradicciones presentes en las paradojas lógicas- la da Peano con la construcción de su sistema formal axiomático, que abre caminos alternativos tanto respecto del logicismo como del intuicionismo de Henri Poincaré.

La formalización de la lógica como lenguaje universal de la ciencia.

Aunque existieron con anterioridad otras propuestas al respecto, Leibniz fue el primer filósofo que presentó un proyecto coherente y con posibilidades efectivas, de creación de un lenguaje o escritura universal en la cual todas las ideas complejas fuesen expresadas, según ciertas reglas, por medio de signos convencionales que representen ideas simples.  

De lo que Leibniz llamó characteristica universalis se esperaba la solución de todos los problemas y el fin de todas las disputas ("Si surgieran controversias no habrían más motivos de disputa entre dos filósofos que entre dos contables. Sólo bastaría que, lápiz en mano, se sentaran a la mesa y se dijeran - quizás con un amigo como testigo- calculemos”). Tal optimismo resulta excesivo ya que siempre existirán problemas cuya solución sea incierta y disputas que el cálculo no pueda resolver. Pero, en gran medida, el sueño de Leibniz se ha vuelto realidad. “Los filósofos, naturalmente, no se han dado cuenta (de esto), pero los matemáticos, al menos en Italia, tienen ahora la facultad de tratar los principios de las matemáticas con una autoridad y una precisión que es también extensible a la filosofía de la matemática. Así muchos argumentos situados entre los grandes misterios ya no son dudosos o discutibles. Quien quiera conocer la naturaleza de estas cuestiones basta con que lea la obra de autores como Peano o Geor Cantor y encontrará un tratamiento preciso e indudable de todos los misterios de una época".  

Según Peano, con el desarrollo de la escritura algebraica, que tanto se ha perfeccionado después de Leibniz, se ha conseguido que por medio de signos del tipo: +, -, =, >, ... , paréntesis, corchetes, llaves y letras del alfabeto, se pueda escribir de manera simbólica cualquier proposición. Pero lo que verdaderamente ha hecho posible el sueño de Leibniz ha sido la “nueva e importante ciencia que se llama Lógica matemática, que estudia las propiedades formales de las operaciones y las relaciones lógicas. Esta ciencia ha sido cultivada en nuestro siglo por Boole, Cayley, Clifford, Delboeuf, De Morgan, Ellis, Frege, Grassmann, Günther, Halsted, Jevons, Liard, Macfarlane, Mc Coll, Nagy, Peirce, Poretzky, Venn y muchos otros...”  

La cuestión del nombre propio hace su ingreso en la lógica con Frege, para quien el nombre propio es aquél que satura la función constituyendo al mismo tiempo un nuevo nombre propio. De este modo introdujo la noción de función vacía (vacía respecto del nombre), asumiendo la existencia del nombre propio, en tanto es apto para satisfacer dicha función. Este concepto de función significó el debut de uno de los dos tipos de axiomatización que adoptará la moderna lógica simbólica hasta que Russell abandonara este camino y replanteara la cuestión al proponer una nueva tipificación de la teoría de los conjuntos. Russell, comunicando a Frege la paradoja del conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos, se hace cargo de la continuación de la obra del pensador alemán y resuelve las paradojas que se derivaban de sus planteamientos basándose en los estudios de Peano, quien con su método literal de formalización de la lógica ya había encontrado el camino para remediar de un modo práctico y realista las paradojas que surgían en el sistema fregeano.

Peano y Frege son los primeros matemáticos que trabajan en la definición del concepto de cero y a través de este trabajo inventan la lógica simbólica. Que Frege considere al cero una cifra es quizás lo que justifica la enorme resonancia internacional del debate en torno a su obra. En el presente, para algunos estudiosos, el sistema de Frege se presta más que cualquier otro, a la fundación (filosófica) de las matemáticas. De todos modos, Peano y Frege representan dos vertientes diferentes pero complementarias en cuanto a la axiomatización y sistematización de la actual lógica simbólica. Es una cuestión de opciones, pero ambas vías son fecundas y conducen a buen puerto. Hay quienes consideran que el lenguaje sígnico-jeroglífico de Frege es engorroso y poco práctico y por tanto, prefieren la notación de Peano que es, en definitiva, la que ha triunfado. 

Para abundar en el carácter fundacional que tiene la obra de Peano respecto de la actual lógica simbólica, resulta significativo lo que escribe B. Russell (que se considera discípulo suyo) en Mymental development:

En julio de 1900 se celebra un Congreso Internacional de Filosofía en París, con ocasión de la Exposición Universal. Wthitehead y yo decidimos tomar parte y así fue como acepté una invitación  a presentar una relación/ponencia... El congreso dejó una huella importante en mi vida intelectual porque fue en aquella ocasión que encontré a Peano. Lo conocía ya de nombre y había leído alguna de sus obras pero no me había tomado el trabajo de asimilar sus símbolos. Durante las discusiones del congreso me di cuenta que (Peano) era siempre más preciso que todo los demás y que en todas las discusiones resultaba invariablemente el más brillante. Con el paso de los días me convencí de que esto debía depender de su lógica matemática, por lo que le pedí todas sus obras y apenas se clausuró el congreso me retiré a Ferhurst para estudiar con toda tranquilidad todo lo que él y sus discípulos habían escrito. Me di cuenta que su método de notación proporcionaba el instrumento de análisis lógico que había buscado durante años y que estudiando su obra estaba logrando una técnica de trabajo nueva y potente que deseaba desde hacía mucho tiempo. A fines de agosto ya conocía a fondo los trabajos de su escuela. Empleé el mes de setiembre en extender su método a la lógica de relaciones. Si lo vuelvo a pensar me parece que durante todo aquel mes cada jornada fue cálida y llena de sol. Los Whitehead fueron nuestros huéspedes en Fernhurst y yo lo ilustré a él sobre mis nuevas ideas. Todas las tardes las discusiones se encallaban en algún obstáculo y cada mañana me daba cuenta que la dificultad de la tarde anterior se había resuelto sola, durante la noche.

Fue un período de embriaguez intelectual. Mis sensaciones se asemejaban a las que se tienen mientras se escala una montaña entre la niebla y de repente se encuentra el sendero al disolverse la bruma y el panorama se ofrece nitidísimo en un radio de cuarenta millas. Durante años había buscado analizar los elementos fundamentales de la matemática... De repente, en pocas semanas, descubrí respuestas definitivas a problemas que durante años habían permanecido irresolutos para mí. Y mientras,descubría que tales respuestas aplicaban una nueva técnica matemática que me permitía conquistar para el territorio del rigor de las fórmulas exactas regiones que anteriormente habían estado abandonadas a la imprecisión de los filósofos. Puedo afirmar que desde el punto de vista intelectual, septiembre de 1900 fue el ápice de mi existencia. Me repetía continuamente que finalmente había hecho algo que valía la pena... Envié un artículo a Peano para su revista, en el cual exponía mis nuevas ideas. A principios de octubre comencé a escribir The Principles of Mathematics, trabajo que había intentado muchas veces inútilmente.

Para el filósofo inglés, Peano es el auténtico fundador de la lógica simbólica. Este nuevo método, que Schöder llama Algebra der Logik y Peano Logica symbolico, es adoptado íntegramente por Bertrand Russell. Los Principia mathematica es la mayor obra completamente escrita en signos ideográficos y en ella se asumen todos los planteamientos que Peano propone en Notations de Logique Mathématique  en la propone su innovador simbolismo.

Reducción de una teoría a símbolos.

Se puede reducir una teoría completa a símbolos, ya que todo lenguaje hablado, o escrito, es un simbolismo o sistema de signos que representan ideas. Para aplicar los signos precedentes se pueden sustituir por estos las palabras que aparecen escritas en lenguaje ordinario en las proposiciones de la teoría. Por ejemplo, sustituir la palabra es por el signo =, según los casos, y en lugar de y, o, etc, los signos  , ... teniendo en cuenta que, según la posición, la conjunción y se representa por   o por .

Después de esta transformación las proposiciones se expresan por algún tipo de palabras relacionadas con los signos lógicos ,  , =, , etc. y si esta operación ha sido bien hecha las palabras que restan quedan desprovistas de toda forma gramatical, pues todas las relaciones de la gramática se expresan por medio de signos lógicos. Estas palabras representan las ideas propias de la teoría que se estudia. Entonces se analizan las ideas compuestas y recién después de una larga cadena de reducciones y transformaciones, se obtiene un pequeño grupo de palabras a través de las cuales, combinadas con los signos lógicos, se pueden expresar todas las ideas y las proposiciones de la ciencia que se estudia. Este reducido grupo de palabras puede ser considerado como mínimo.

Recíprocamente, para transformar las fórmulas en lenguaje ordinario, es decir, para leer las fórmulas, no se debe leer cada signo aisladamente , sino considerar en conjunto todo el grupo de signos. Con cierta práctica se adquiere el hábito de transformar  rápidamente los símbolos en lenguaje ordinario y viceversa.

Las reglas de la lógica para transformar un conjunto de hipótesis en la tesis que se quiere probar, son análogas a las leyes del álgebra para transformar un conjunto de ecuaciones en una forma en la cual sean resueltas. Estas leyes no han sido creadas por nadie, se las obtiene examinando los razonamientos bien hechos. Las reglas del razonamiento son las fórmulas mismas de la lógica. Estas reglas son muy numerosas. En realidad, son todo lo numerosas que se quiera, pero aquéllas de uso más frecuente son pocas y muy simples y de ellas se derivan todas las demás que son consecuencias de éstas.

Sea cual sea la manera en que se construyen los razonamientos, si una ciencia no contiene las ideas primitivas, en ella todo se puede definir y demostrar y de ese modo se llegará a explicitar la teoría completa de esa ciencia. Pero si la ciencia toca los elementos mismos y, por tanto, contiene ideas que no se pueden definir, encontrará también proposiciones que no se pueden demostrar. A estas proposiciones Peano las llama proposiciones primitivas (utilizando la abreviatura Pp); también las llama axiomas, postulados y a veces, hipótesis, leyes experimentales, etc. Estas proposiciones determinan o definen las ideas primitivas, de las cuales no se puede dar una definición directa. La elección de proposiciones primitivas es arbitraria, por ejemplo, si de las proposiciones a, b, c se deduce d, y de a, b, d se deduce c, se pueden tomar como proposiciones primitivas a, b, c o a, b, d.

Peano concluye esta obra capital en la historia de la lógica afirmando que, con la aportación que aquí presenta, el problema planteado por Leibniz queda resuelto.  

En el Diccionario de matemáticas  Peano presenta una lista de los términos matemáticos más usuales de su época, en la que se precisan los significados según su etimología, su historia o su definición. El Diccionario no pretende ser una obra cerrada ni tampoco prescriptiva, sino que lo propone como guía para los autores en la elección de los términos adecuados para su trabajo y tiene el valor de ser una obra preparatoria para obtener una terminología escolástica uniforme, cuestión en la que se interesó la Sociedad Mathesis en el Congreso de Turín de 1898. Para el matemático piamontés es muy importante que el diccionario sea una obra de colaboración y que antes de considerarlo acabado hayan participado en él un gran número de personas en las aclaraciones, discusiones y aportaciones. Esto se llevó a la práctica al pie de la letra y existen numerosos testimonios  que evidencian cómo importantes estudiosos de la época se dieron a esta labor.

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* (AGÜERO MACKERN, E. La matemática, la lógica y los lenguajes, Madrid, CFE, 2017, pp. 89-118)