La obra de Giuseppe Peano y de su escuela ocupa un lugar destacado en la historia contemporánea de la ciencia sobre todo por la gran influencia que ejerció tanto en Italia como en Europa y en el concierto científico internacional. A pesar de la cautela de Peano respecto de las implicaciones filosóficas de su obra lógica, hay que destacar un momento clave en la difusión de su obra: el Congreso Internacional de Filosofía celebrado en París en 1900. Precisamente fue en un congreso de filosofía donde su obra y la de los discípulos de su escuela comenzaron a adquirir fama fuera de los confines de Italia y sus trabajos adquirieron renombre y se dieron a conocer universalmente. Dicho congreso estuvo articulado en cuatro sesiones: 1) Metafísica y Filosofía general. 2) Moral. 3) Lógica e Historia de la ciencia. 4) Historia de la Filosofía. En él participaron los más prestigiosos pensadores de la época, entre los que podemos destacar a H. Bergson, E. Boutroux, G. Cantor, L. Couturat, R. Dedekind, G. Frege, F. Klein, A. Lalande, G. Léchalas, X. León, E. Le Roy, E. Mach, A. Meinong, P. Natorp, H. Poincaré, B. Russell, E. Schröder, H. Spencer, J. Tannery y W. Wundt. Representando a Italia asistieron, entre otros, A. Labriola, G. Peano, G. Vailati, M. Calderoni y A. Padoa.
El congreso fue inaugurado con una conferencia de E. Boutroux en la que realizó una reflexión acerca de la crisis en la que se encontraban las disciplinas filosóficas a causa del cada vez mayor protagonismo que iban adquiriendo las diversas ciencias particulares surgidas de nuevas especializaciones que diseñaban nuevos campos epistemológicos. En este sentido, la inclusión en el Congreso de la tercera sección (Lógica e Historia de la Ciencia) tuvo la importancia programática de proponer la reconstrucción de la perdida unidad de la filosofía partiendo del nuevo panorama epistemológico. “Solidaria con las ciencias, la filosofía participa, en una cierta medida, en las directrices de su desarrollo, que es el progreso a través de la división del trabajo y la convergencia de los esfuerzos, esto es, a través de la organización de la investigación”. “Ciertamente esta empresa debe resultar más difícil, quizás irrealizable en el siglo veinte, pero los pensadores deben dedicar todos sus esfuerzos a la realización de tal proyecto. Aristóteles, Leibniz, y el mismo Hegel han podido comprender toda la ciencia de su tiempo. Pero la ciencia actual, la ciencia del porvenir, sobrepasa inexorablemente la capacidad de la inteligencia humana”.
André Lalande, que fue uno de los impulsores de los Congresos Internacionales de Filosofía - como éste de 1900- estaba empeñado en potenciar el trabajo cooperativo entre los filósofos. En un artículo de 1898 y en una comunicación al Congreso Internacional de Filosofía de 1900 titulada: Sur la critique et la fixation du langage philosophique presenta un proyecto de unificación del lenguaje filosófico y propone la confección de un Vocabulario técnico y crítico de la filosofía, y el método a seguir para su elaboración.
Dentro de este espíritu globalizador y optimista que se vivía en aquellos congresos, se decidió abordar y resolver de un modo práctico el problema de una lengua universal y la primera consecuencia fue la creación de una Délegation pour l'adoption d'une langue auxiliaire internationale . En esta perspectiva se inscribe la realización del Vocabulaire technique et critique de la philosophie (1902-1923) que ocupó la actividad de Lalande durante más de veinte años.
El propio Couturat como principal promotor de la formación de una mathesis universalis y absolutamente comprometido con el proyecto de la lengua universal, colaboró con Lalande en los primeros años del Vocabulaire (sobre todo en relación a la terminología correspondiente a la nueva lógica). Esta colaboración cesó en 1906 ya que a partir de ese año Couturat se dedicó casi exclusivamente al trabajo de adaptar y actualizar el Esperanto, en la línea del Ido. Al año siguiente de su fallecimiento en 1914, apareció su Dictionnaire Français-Ido, realizado en colaboración con Beaufront. El Vocabulaire se publicó periódicamente en el Bulletin de la Société française de philosophie (dirigido por Xavier Léon y el propio André Lalande) en la forma de fascículos, entre julio de 1902 (primer fascículo de la letra A) y febrero de 1922 (letra Z). En 1926 el Vocabulaire se publicó en forma de libro (revisado, corregido y aumentado con un suplemento): “Vocabulario técnico y crítico de la filosofía, revisado por los señores miembros y correspondientes de la Sociedad Francesa de filosofía y publicado con sus correcciones y observaciones por André Lalande, miembro del Instituto y profesor de la Sorbona” .
Aunque los autores de esta obra -franceses que escribían en francés- ofrecen la versión de cada término en lengua alemana, inglesa e italiana, pero ignoran absolutamente la lengua española, el Vocabulaire technique et critique de la philosophie fue traducida al español y publicada en 1953, lo que facilitó su gran difusión, además de España, en los países de América Latina. Durante el siglo XX han aparecido veinte ediciones en francés de esta obra de obligada consulta que ha contribuido de una manera decisiva a conformar el estilo francés de hacer filosofía. La consulta del Lalande se hará imprescindible aunque sólo sea para poder percibir las evidencias de ese intento de reglamentar y unificar armónicamente el vocabulario filosófico -no exento de una cierta ingenuidad- al estilo parisino de principios del siglo veinte. También debería rastrearse en la literatura posterior la influencia de las decisiones adoptadas, respecto a algunos términos, por los traductores españoles.
En este aspecto, nadie duda de la aportación de Peano en el sentido de dotar a las ciencias formales de eficaces medios simbólicos apropiados para una efectiva clarificación conceptual, por tanto es necesario dilucidar cuáles fueron los motivos fundamentales y los objetivos específicos de sus investigaciones lógicas y lingüísticas. Respecto de la lógica su preocupación es metodológica y no sistemática. Sus trabajos se encaminan en una línea instrumental orientada a analizar los conceptos matemáticos y en conseguir unos procedimientos adecuados para la formulación ordenada de las proposiciones matemáticas en un lenguaje riguroso. Siendo éstas sus motivaciones se entiende su insistencia en la ideografía de la lógica simbólica. Y esto lo diferencia de otros estudiosos más atentos a aspectos formales del cálculo lógico o a los aspectos axiomáticos, que llevaron a Frege y Russell a la formulación de la tesis logicista de la reductibilidad de la matemática a la lógica. Peano realiza una auténtica epoché lingüística a mitad de camino entre el plano de lo real y el plano formal teórico y se sitúa en el plano formal instrumental o lingüístico. Esta dirección del trabajo de Peano fue muy apreciada en los foros internacionales europeos de la época aunque, como ya he mencionado, injustamente infravalorada en Italia. La relación de Peano con el pensamiento lógico europeo presenta una diferencia muy significativa respecto de la filosofía croceana y del idealismo imperante en Italia en esa época, abocado a la construcción de una cultura nacional basada en la actualización de la línea Vico-Spaventa-Labriola. La Italia unificada necesitaba una “filosofía nacional” y no era precisamente Peano, con su pensamiento cosmopolita e inequívocamente distanciado del nacionalismo, el punto de referencia a elegir. Para los idealistas, sobre todo Croce, la lógica simbólica carece de la sólida justificación filosófica que caracteriza a la lógica tradicional y cae en el craso error de pretender asir las leyes del pensamiento al creer que puede reducirlo a términos, conceptos y proposiciones. La lógica simbólica, insisto, para Croce carece de valor por su “probada” nulidad filosófica. Sin embargo, su posterior desarrollo y actual vigor desmienten las afirmaciones de Croce. Aunque la lógica simbólica solo fuese un formulario de utilidad práctica, las cuestiones sobre la posibilidad y el significado de tal utilidad son de carácter netamente filosófico, so pena de restringir arbitrariamente el dominio de la investigación filosófica. Por otra parte la construcción formal del cálculo lógico no excluye la posibilidad de investigaciones sobre las “formas del espíritu” como pretenden los idealistas y metafísicos. La lógica formal no es solamente un repertorio de recetas y términos útiles, sino el intento de una formulación rigurosa de los principios y las reglas del sistema deductivo y la explicitación de su consistencia, independientemente de sus aplicaciones prácticas.
En el pensamiento de Peano pueden distinguirse tres períodos: a) el realismo heurístico, b) la interpretación pragmático-operativa del lenguaje formal y c) el carácter procesual en la construcción del lenguaje. El realismo heurístico o metodológico elimina cualquier interpretación convencionalista del lenguaje matemático. Aunque puede existir una diversidad de lenguajes, de símbolos y notaciones, el análisis de las ideas a las cuales tiende debe ser único. “Si independientemente uno de otro, surgen dos sistemas aptos para representar y analizar las proposiciones de una teoría, entre ellos podrá haber una absoluta diferencia formal; pero deberá subsistir una analogía sustancial; y si los sistemas están igualmente perfeccionados, entre ellos deberá haber identidad. Porque la Lógica Matemática no consta de una serie de convenciones arbitrarias y variables al capricho del autor, sino (provenientes) del análisis de las ideas y de las proposiciones primitivas y derivadas, y este análisis es único”. Este aspecto marca una importante diferencia tanto respecto de Vailati en el cual la influencia del pragmatismo de Peirce determina una intepretación exageradamente convencionalista de las construcciones sintácticas; como de Croce, en el cual su monismo panlógico disgrega la polaridad del objeto, convirtiéndolo en una articulación de la actividad del espíritu. Si el realismo tiene carácter heurístico o metodológico, los lenguajes se convierten en vías alternativas de adquisición de la verdad y, al mismo tiempo, eliminan los problemas irresolubles de las construcciones que sólo se pueden definir intersubjetivamente. El aspecto pragmático-operativo del lenguaje no implica nunca renuncia a una verificación histórico-inductiva que establece en la tradición del trabajo de los matemáticos y los lógicos el ámbito epistemológico en el cual debe fundamentarse la obra de sistematización de las proposiciones lógicas. Muy distanciado de los riesgos del monismo naturalista de inspiración spenceriana, Peano identifica en el lenguaje el instrumento privilegiado del encuentro intersectorial de las diversas disciplinas y al mismo tiempo, el ámbito apropiado para despejar clásicos problemas filosóficos desde siempre considerados aparentemente irresolubles, entre otros, la problemática del infinito, el de las clases totales o el de las proposiciones existenciales.
Otra aportación importantísima de la lógica peaneana es la determinación de las características y de las funciones específicas de las definiciones por recurrencia, de las definiciones por abstracción y de las definiciones por postulados, que han transformado radicalmente el esquema tradicional de las definiciones por género y diferencia específica y han mostrado los fundamentos, a través de la investigación científica, sobre las llamadas definiciones implícitas en sus varias formas. Su característica, en comparación con las definiciones de la lógica tradicional, consiste en el hecho de que mientras estas se presentan como explicaciones del significado de ‘una palabra’ o de un signo aislado, las definiciones implícitas (o condicionales) no se ocupan sino del significado de las diversas proposiciones o fórmulas en las cuales aparece la palabra o el signo en cuestión, combinados con otros cuyo sentido ya está determinado. Las definiciones por abstracción tienen una función muy importante en la mecánica y en las diversas disciplinas de las ciencias matemáticas. En este sentido debemos a Peano, por ejemplo, la definición de masa, de temperatura, de potencial y su relación con las experiencias en las cuales se integran. Pero es necesario aclarar el término ‘definiciones por abstracción’. Este término, usado ampliamente por los lógicos, fue acuñado por Peano. Aunque nuestro autor no da una definición exacta del término podemos afirmar que para él una definición por abstracción es una definición que emana de las propiedades del objeto a definir. Lo que sí caracteriza muy bien es en qué sentido utiliza el término abstracción.
Peano tenía en mente, básicamente, un dominio de objetos a, b, c ... en una determinada relación de equivalencia; por ejemplo las fracciones como 2/3, 5/7, etc. Según él, el resultado de la abstracción que obtenemos de las propiedades no invariantes sobre la fracción 2/3 es idéntico al resultado de la abstracción que se opera en la fracción 4/6. El resultados de los razionale 2/3 y 4/6 es idéntico. Russell no estuvo de acuerdo con la noción de abstracción de Peano y sostuvo que la definición por abstracción no es un procedimiento lógicamente válido. Según el autor de los Principia, Peano se habría equivocado al sostener que el bicondicional “a = b; si y solo si a ~ b” es una definición, con “a = b” como definiendum y “a ~ b” como definiens. Objeción a la cual se le pone solución en una correcta teoría de la abstracción haciendo del bicondicional un teorema.
Euclides, en el libro V: “Se dice que la razón de la extensión a en relación a b es igual (idéntica) a la razón de c en relación a d [o sea, a/b = c/d] cuando tomados aleatoriamente dos números m y n, si ma > nb se sigue mc > nd; si ma > nb se sigue mc > nd”.
Las definiciones en las cuales lo que se define es la igualdad entre entes nuevos, se llaman ‘definiciones por abstracción’. El signo ‘=’ con el cual el álgebra traduce el término autós (idem, idéntico) de Euclides, representa la idea que satisface el siguiente principio de Leibniz: “Eadem sunt quorum unum in alterius locum substitui potest salva veritate”, esto es, que dos cosas son iguales, idénticas, cuando en cada proposición una se puede sustituir por la otra permaneciendo intacta la verdad de las proposiciones y por tanto, cada propiedad de una de ellas es también propiedad de la otra. (El término igual del álgebra, lo que Euclides denomina autós, no se debe confundir con el término isos, que también suele traducirse por igual, sobre todo en ciertos tratados de geometría muy difundidos y de uso generalizado. De ahí la importancia de las consideraciones filológicas y lingüísticas en el proceso de construcción de la ciencia.
Todo esto se completa con las definiciones de número. Siendo a y b dos clases, se escribe “num a = num b” y se lee “el número de los a es igual o idéntico al número de los b cuando entre a y b se puede establecer una correspondencia de uno a uno”. De este modo, se define así la igualdad de ‘dos’ números, no cada número individualmente y esto por la razón de que la mencionada definición está fuera de la aritmética, más estrictamente ‘antes’ de la aritmética y, por otra parte, porque el número del que aquí se trata no se corresponde con la noción de número que define la aritmética. En este punto del desarrollo de su teoría de las definiciones,
Peano también expone su teoría de las relaciones, su teoría de las clases y su teoría de los operadores, para concluir: ¿Cuál es la mejor entre las cuatro teorías expuestas, todas igualmente lógicas y rigurosas? La mejor es aquella que más le gusta a cada profesor. Imponer a un profesor un método que a él no le guste es obra de destrucción, no de construcción. Pero es útil que los enseñantes conozcan los diversos métodos con el fin de que puedan realizar una elección concienzuda. Por tanto es de la máxima importancia el Boletín de nuestra sociedad, así como las otras publicaciones didácticas, las conferencias de matemática y todos los estudios comparativos y críticos que sirvan para completar los conocimientos, a menudo demasiado dogmáticos, que se adquieren en las escuelas”.
Peano fundamenta sus investigaciones en un conocimiento amplio de la historia de las matemáticas en particular y de la ciencias en general. Esto le permite no caer en ningún tipo de dogmatismo epistemológico ya que él sabe muy bien, y eso sostuvo siempre, que el valor fundamental de una teoría es precisamente el de ser explicativa de los objetos o de los hechos de que se trate, que éstas tienen un valor instrumental y sobre todo, que ninguna teoría determinada puede ser impuesta por encima de otras teorías igualmente válidas. Lo contrario causaría mayor confusión y dispersión, que es todo lo contrario de lo que se quiere conseguir con la aplicación de una teoría que pretende ser explicativa de los hechos y objetos científicos. Y también están presente en el ánimo del autor las circunstancias, nada desdeñables, de la libertad de investigación y de la eficacia didáctica. Sin embargo, Peano siempre llamó la atención sobre una cuestión de procedimiento: una vez que se sigue el método que emana de una determinada teoría válida, debe seguirse de una manera coherente, sin recurrir a instrumentos dependientes de otras teorías.
Las investigaciones peaneanas modifican la metodología de la ciencia, sobre todo, la tesis operacionista de la investigación experimental y su concepción sintáctica de las estructuras formales. Peano abre las puertas a una investigación filosófica de la ciencia que va más allá de una simple compresión genérica y lejana de la misma. La importancia que da a los datos históricos en la evolución de la ciencia, considerados no como meros elementos introductorios y contextuales, sino como formando parte de la ciencia misma, lo colocan en una postura bien alejada del cientificismo imperante en su época.
Según Peano está probado que la teoría de Euclides, con veinte siglos de antigüedad, además de ser “aún hoy, una de las más bellas”, es la más rigurosa. Y esto puede probarlo haciendo uso del método histórico que adoptó. “El profesor que debe explicar a los alumnos los números enteros, las fracciones, los números irracionales, las áreas, los volúmenes, o aquel que está por escribir un libro de texto, estará obligado a leer todos los trabajos de Euclides e, incluso introducir su estudio en nuestras escuelas, para lo cual sería necesario tener las ediciones escritas en el texto griego cuyo lenguaje matemático es muy distinto a las versiones en lenguaje moderno, que es muy diferente sobre todo en la parte aritmética y algebraica” .
La preocupación pedagógica de Peano por los procedimientos didácticos no es algo tangencial en su pensamiento. Él es consciente que unos de los ejes fundamentales de desarrollo de la ciencia es su enseñanza en los claustros universitarios. Enseñanza que, por otra parte, debe ir siempre acompañada de la investigación. Para la correcta aplicación del método histórico en las instituciones educativas deben existir los fondos bibliográfico pertinentes, esto es, las fuentes. Y además debe ser posible poder consultarlas en sus lenguas originales. De ahí la importancia que le da Peano a la enseñanza de las dos lenguas clásicas fundamentales: el latín y el griego. Si reflexionamos sobre todo esto no podemos menos que sentir preocupación por el enorme retroceso - cuando no desaparición- que los estudios clásicos (lengua y filosofía) han experimentado en las escuelas y universidades españolas. Y esta cuestión no es sólo un perjuicio cultural sino algo que atenta profunda y directamente contra el corazón del método científico y la ciencia misma. Con lo que queremos decir que no son ajenas a la ciencia, ni tampoco a la institución universitaria - que es o debería ser el lugar natural en la que ésta se cultiva- las cuestiones didácticas sobre la enseñanza que aparentemente sólo atañen a otros niveles educativos. La cuestión didáctica muchas veces es tratada peyorativamente cuando forma parte capital del proceso histórico de la evolución del saber científico. Nuestro autor realizó muchas observaciones en este sentido y produjo abundantes escritos en esta línea. También esto forma parte de su herencia científica.
Para completar este capítulo en el que se deja constancia de los fundamentos teóricos de la obra de Peano, es necesario contextualizarla en el debate epistemológico y filosófico de la época. El escenario central de este debate, que tuvo implicaciones en toda Europa, se dio en Francia. Uno de los acontecimientos emblemáticos en este sentido fue el Congreso Internacional de Filosofía de París, en 1900. Pero esto fue un hecho puntual, por tanto debemos situarnos en el entorno temporal del congreso. Este congreso se fue preparando durante algunos años antes y su órgano oficioso de difusión fue la Revue de Métaphysique et de Morale que dirigía X. Léon. En los sucesivos números que entonces se publicaron estuvo presente este debate de la época, cuyas mismas cuestiones se trataron con gran polémica, fuerza y dinamismo en las múltiples reuniones y discusiones habidas en las diversas sesiones del congreso. Las protagonistas principales en estas discusiones fueron H. Poincaré y L. Couturat. Posteriormente, después del congreso, también se unirán a este debate Peano y algunos miembros de su escuela, tales como Vailati o Padoa. El debate estuvo articulado en tres direcciones principales: a) la situación problemática de los principios de la mecánica y sus relaciones con la electrodinámica, b) los problemas relativos a la fundamentación lógica de las matemáticas y c) la sistematización lógica de la geometría no euclideana. Estos problemas cuestionaban la propia fundamentación de la ciencia y la articulación de sus procesos cognoscitivos al poner en tela de juicio la relación tradicional entre los seres reales (ontológicamente fundantes de la ciencia) y los objetos que a ellos se refieren (los objetos de la ciencia -que se sitúan en el plano formal-).
Couturat, que era un leibniziano, representaba la concepción actualista (ontologista) y determinista de los objetos científicos, sin embargo las nuevas direcciones apuntaban en el sentido contrario de definir autónomamente la ciencia y establecer una estructuración igualmente autónoma de los distintos campos del saber y las diversas regiones epistemológicas. A partir de 1883 comienza el aludido debate en la Revue. El matemático francés sostiene que los objetos científicos poseen una consistencia ontológica independiente de cualquier condición teórica lingüística que pudiera estar en grado de constituirlos. A lo cual Poincaré, mostrando su desacuerdo, responde que no está dispuesto a renunciar al carácter apriorístico de los procesos estructuradores de los objetos: “En síntesis, el espíritu tiene la facultad de crear símbolos y es de este modo como ha sido creada la noción de continuo matemático, que no es otra cosa que un sistema particular de símbolos. La posibilidad expresiva se limita a la necesidad de evitar cualquier contradicción; pero el espíritu no hace uso de la experiencia si ésta no se lo permite” La experiencia desempeña un papel determinante aún en los niveles más formales de la investigación matemática. Las coordenadas trazadas por Kant con la noción de sintético a priori conservan para Poincaré una validez exegética en los procedimientos científicos y por tanto la noción de continu no puede ser interpretada como simplemente a priori.
En el mismo año Couturat, en el artículo Note sur la géometrie non euclidienne et la relativité de l’espace, aparecido en la Revue, evidencia no haber superado aún su postura antikantiana ni tampoco haber releído a Leibniz, que fue lo que posteriormente lo llevaría a su encuentro con los logicistas. Hasta ese momento la cuestiones filosóficas y epistemológicas de la ciencia poseían como esquema de referencia, tanto la filosofía trascendental, como el convencionalismo de Poincaré. Posteriormente Couturat comienza a dar un vuelco a sus teorías epistemológicas al acentuar la importancia de las estructuras a priori en la fundación de la ciencia: “es evidente que nosotros no constatamos el espacio, sino que lo creamos” Si el espacio geométrico no tiene nada en común con nuestra percepción del espacio, el problema de la verdad en la geometría debe considerarse en términos diferentes a los tradicionales. Según él, una geometría no puede ser más verdadera que otra, solamente puede ser más “cómoda”. Aquí ya encontramos los primeros rasgos de acuerdo con Peano. Acuerdo que será cada vez mayor como lo demuestran la asidua correspondencia que tuvo lugar entre ambos matemáticos.
A propósito del surgimiento de la geometría no-euclideana era necesario afirmar que las diversas definiciones del espacio de ningún modo derivan de la experiencia, sino que son construcciones netamente racionales. La ley sobre la homogeneidad del espacio no es una ley natural, sino del “espíritu”. El carácter necesario de todos los postulados - y también de los de Euclides- no es empírico, sino racional.
